前言
笔者在上完计算方法这门课时，接触到了非线性方程的求解方法，我在学习了二分法后，紧接着学习的是不动点迭代法，在书中关于不动点迭代法的论证引起了我的兴趣，作为一名非数学系学生，我想输出我的理解，其中可能存在错误，如有错误，可发送邮件给我。我的邮件：turokdrake@outlook.com
一、书中的内容
设方程 \( f(x) = 0 \), 其迭代函数为 \( x_{k+1} = \varphi(x_k) \quad k = 0,1,2,... \quad x_0 \in [a, b] \)
以下是迭代函数 \( \varphi(x) \)在满足什么条件时迭代法收敛的讨论：
设迭代函数\( \varphi(x)在 [a,b] \)上具有连续的一阶导数，且
- 当\( x \in [a,b] \)时，\( a \leq \varphi(x) \leq b\) ;
- 存在正数\(L < 1\)，对任意 \( x \in [a,b] \), 有\( |\varphi'(x)| \leq L < 1 \) 成立，则 \( x = \varphi(x) \)在\([a,b]\)上有唯一解\(x^*\)，且对任意初始近似值\(x_0 \in [a,b]\)，迭代过程\( x_{k+1} = \varphi(x_k)(k = 0,1,2,...)\)收敛，且\( \lim\limits_{k \to \infty} x_k = x^*\)
上面的定理为收敛性定理，下面是关于证明的讨论，我将使用手写的方式阐述，这样就不用编辑Latex公式了XD
二、关于证明的讨论
\(x^*\)的存在性与唯一性
\(x^*\)最终收敛于\(x^*\)