前言
笔者在阅读完《3D数学基础：图形学与游戏开发》关于表示缩放、反射和投影的矩阵后，印象十分深刻。为什么印象深呢？——因为这三种均为线性变换（当然，我前面的文章谈到的旋转也是线性变换），而且这三种变换其实在某种意义上都是缩放！关于具体内容，且看下文……
在理解“矩阵是用来描述空间变换的”一文中，有关于“矩阵是如何描述空间变换的”的讨论，在旋转矩阵一文中，有关于找到“旋转矩阵”的讨论。如果阅读了这两篇文章，再阅读这一篇文章，便会触类旁通。我会在讨论的过程中给出一些草图，虽然草了些，但是希望能有帮助 :)
笔者可能在文中出现一些没有发现的错误，如有错误，可以联系我的邮箱turokdrake@outlook.com
一、表示沿主轴缩放的矩阵
小标题中的“主轴”指的坐标轴，例如笛卡尔坐标系下的 x轴、y轴。
在二维平面中表示缩放的矩阵
二维平面中，假设我们有一个矢量 \(\vec{v}\)， 我们想让其沿 x轴缩放 \(k_x\)倍，沿 y轴缩放 \(k_y\)倍，以得到新的矢量 \(\vec{v'}\)。\(k_x\) 和 \(k_y\) 被称作缩放因子，决定了我们要将我们的矢量缩放多少倍，缩放因子影响了矢量最后的形态。
二维平面笛卡尔坐标系的基矢量为 \(\vec{i} = (1,0)\) （x轴的基矢量）和 \(\vec{j} = (0,1)\) （y轴的基矢量）
那么，经过缩放后的基矢量实际上是 \(\vec{i'} = (k_x,0)\) 和 \(\vec{j'} = (0,k_y)\).
那么表示二维平面沿坐标轴缩放的矩阵就为：\(\begin{bmatrix} k_x & 0 \\ 0 & k_y \end{bmatrix}\)
表示二维平面中沿坐标轴缩放的矩阵
在三维空间中表示缩放的矩阵
根据二维平面中表示缩放的矩阵，其实也能想到立体空间中的表示缩放的矩阵。假设沿 x轴缩放 \(k_x\)倍，沿 y轴缩放 \(k_y\)倍， z轴缩放 \(k_z\)倍。
三维空间中，基矢量为 \(\vec{i} = (1,0,0)\)，\(\vec{i} = (0,1,0)\) 和 \(\vec{i} = (0,0,1)\)
那么，经过缩放后的基矢量实际上是 \(\vec{i'} = (k_x,0,0)\) 和 \(\vec{j'} = (0,k_y,0)\) 以及 \(\vec{k'} = (0,0,k_z)\).
那么表示三维空间沿坐标轴缩放的矩阵就为：\(\begin{bmatrix} k_x & 0 & 0 \\ 0 & k_y & 0 \\ 0 & 0 & k_z \end{bmatrix}\)
二、表示沿任意轴缩放的矩阵
二维平面中，假设我们已知 \(\vec{v}\) 沿着 轴 \(\vec{n}\) 缩放 \(k\) 倍得到了新的矢量 \(\vec{v'}\)。我们在寻找一个表示缩放的矩阵。如果你阅读过旋转矩阵一文，你应该知道我会采用什么样的方法。
注意：为了方便处理，我用单位矢量 \(\vec{n}\) 表示轴，这意味着这个矢量的模长为1.
思路如下：
- 我希望求出新的矢量 \(\vec{v'}\) 来找到新的基矢量；
- 直接研究 \(\vec{v}\) 找不到头绪，应该把它分解成平行于 \(\vec{n}\) 和 垂直于 \(\vec{n}\) 的矢量。而真正执行缩放这个操作的只有平行于 \(\vec{n}\)的矢量 \(\vec{v_{\parallel}}\)，而垂直于 \(\vec{n}\) 的矢量 \(\vec{v_{\perp}}\) 由于在 \(\vec{n}\) 上的投影是一个点，点沿着线缩放仍然是一个点，那么这个 \(\vec{v_{\perp}}\) 相当于没有缩放。那么我们只需要讨论的只有 \(\vec{v_{\parallel}}\)；
- 接下来的过程就容易了，跟之前我们一起处理旋转矩阵一样，详见草图。
表示二维平面中沿任意轴缩放的矩阵
那么缩放后的基矢量为：
\(((k-1) n^2_x+1, (k-1)n_xn_y)\)
\( ((k-1)n_xn_y, (k-1)n^2_y+1)\)
那么表示沿着\(\vec{n}\)缩放\(k\)倍的矩阵就为 \(S(\vec{n},k)\) =
\( {\small \begin{bmatrix} (k-1) n^2_x+1 & (k-1)n_xn_y \\ (k-1)n_xn_y & (k-1)n^2_y+1 \end{bmatrix}} \)
对于三维空间中的矩阵，我也能够按照上面的方法给出，我这里为了节省行文空间直接给出，具体的可以自行推导（只是把二维坐标换成了三维坐标）：
\( {\small \begin{bmatrix} (k-1) n^2_x+1 & (k-1)n_xn_y & (k-1)n_xn_z \\ (k-1)n_xn_y & (k-1)n^2_y+1 & (k-1)n_yn_z \\ (k-1)n_xn_z & (k-1)n_yn_z & (k-1)n^2_z+1 \end{bmatrix}} \)
三、正交投影
我至今印象深刻，因为一个很帅的词，我在读《3D数学基础：图形学与游戏开发》这本书时遇到的，它就是“降维”！投影是一个降维操作，你在五维空间，经过投影后你在思维空间，你失去了一些维度的信息！这简直是降维打击 XD
我在读这本书时，里面还提到了一句话，是关于正交投影（也称为平行投影）的介绍的。正交投影是将体投影到某个面上，或者是将面投影到线上。这是一个扁平化的过程！
你还记得我在前言中提及到的“投影、反射其实也是种缩放”吗？书中使用 \(S(\vec{n},k)\) 表示一个沿 \(\vec{n}\) 缩放 \(k\)倍的矩阵。而在二维平面中的图像，投影到 x 轴上这个操作实际上可以使用这个矩阵来描述： \(S([0,1],0)\)
上面提到的这个矩阵表示什么？沿着 y 轴缩放到0，也就是丢弃掉 y 轴的部分，保留 x 轴的分量，这实际上正是投影！你可以将 \(n_x = 0, n_y =1\) 代入上面的缩放矩阵中，看看新矩阵长什么样。这个矩阵正是投影操作 :)
\( {\small \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}} \)
如果仔细观察这个矩阵，可以看出新的基矢量为：
\(\vec{i'} = (1,0)\) , \(\vec{j'} = (0,0)\)
它舍弃了 y 方向上的分量，如果我换到三维空间中，投影到 xy 平面，不就是舍弃 z 方向上的分量吗。因此，矩阵即：
\( {\small \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}} \)
四、反射
反射其实就相当于照镜子，镜中的你的左手能和现实中的你的左手对齐，因为镜中世界的你和现实世界的你是关于镜面对称的，对称面就是镜子。
还记得吗，我也说过反射也是一种缩放。在二维平面中，如果我把一个矢量围绕 x 轴反射，假如我这个矢量在第一象限，那反射后它就在第四象限。这个操作实际上可以使用矩阵 \(S([0,1],-1)\) 来描述。
上面这个矩阵表示将矢量沿着 y轴 缩放 -1，相当于新的基矢量为：
\(\vec{i'} = (1,0)\), \(\vec{j'} = (0,-1)\)。
矩阵也就是：
\( {\small \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix}} \)
正交投影、反射都能当成缩放，但是它们其实描述的方式不同。接下来将对比一下，假设变换都发生在二维平面中：
正交投影：投影到 x轴上； 这等同于 沿着与 x轴垂直的 y轴缩放0倍。
反射：围绕 x轴反射； 这等同于 沿着与 x轴垂直的 y轴缩放-1倍。